Série 1 :Probabilités

Exercice 1 :

Une urne contient 5 boules noires, 4 boules blanches et 1 boule verte. On tire simultanément 5 boules de cette urne.

a- Combien y a t il de tirages possibles?

b- Si tous les tirages sont équiprobables, quelle est la probabilité de tirer

- aucune boule noire?

-autant de boules vertes que de boules blanches?

-au moins une boule noire?

-exactement une boule noire et exactement une boule verte?

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Exercice 2 :

Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
On prélève n boules successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère les deux événements suivants:
        A:" On obtient des boules des deux couleurs";
        B:" On obtient au plus une boule blanche ".

1: a:: Calculez la probabilités de l'événement: "Toutes les boules tirées sont de même couleur "
b: Calculez la probabilités de l'événement: "On obtient exactement une boule blanche".
c: Déduisez-en que les probabilités p(A et B) , p(A) et p(B) sont:

2: Montrez que p (A et B) = p(A).p(B) si et seulement si 2 ^{( n - 1)} = n+1.
3: Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 par: Un= 2 ^{(n - 1)} - (n+1)
   a: Calculez les trois premiers termes de cette suite.
   b: Démontrez que cette suite est strictement décroissante.

4: Déduisez-en la valeur de l'entier n tel que les événements A et B soient indépendants

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Exercice 3  :

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On imagine n sacs de jetons S₁, S₂, ., S_n . Au départ, le sac S₁ contient 2 jetons noirs et 1 blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante :
- Première étape : on tire au hasard un jeton de S₁ ;
- Deuxième étape : on place ce jeton dans S₂, et on tire, au hasard, un jeton de S₂ ;
- Troisième étape : après avoir placer dans S₃ le jeton sorti de S₂, on tire, au hasard, un jeton de S₃. Et ainsi de suite.
Pour tout entier naturel k tel que 1< k < n, On note E_k l'événement "le jeton tiré de S_k est blanc"

a) On considère la suite (v_k) définie par, pour tout élément k de N*, v_k = u_k - 0,5.
     Démontrez que la suite (v_k) est une suite géométrique.
b) Déduisez-en l'expression de u_k en fonction de k.
    Montrez que la suite (u_k) est convergente et précisez sa limite.

3: Dans cette question, on suppose que n = 10. Déterminez pour quelles valeur de k on a:
                                             0,4999 < p_k < 0,5

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