Série 1 : Rappel des hypothèses de la RDM : la torsion simple

Exercice 1 :

Un solide (S) est soumis à deux forces (A,) ; (B,) contenues dans le même plan . Dans le repère  on donne :

(0, 6, 1) ; (0, 20, 10) ; (0, 0, 3) ; (0, 30, -20).

Quelle force (C,) doit-on appliquer à (S) au point C tel que (0, yC, zC) pour que le torseur associé aux trois forces (A,) ; (B,) ; (C,) soit nul ?

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Exercice 2 :

La figure ci-dessous représente un profilé d'aluminium de section droite S. O est le centre de surface de S. Les cotes sont exprimées en millimètre.

1) Déterminer les moments quadratiques IOx, IOy et le moment produit IOxy de S dans .

2) Déterminer la position des axes principaux par l'angle j = (,) et la valeur des moments quadratiques maximal et minimal correspondants.

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Exercice 3  :

Une plaque rectiligne de section constante est sollicitée en extension simple par une action mécanique provoquant un état de contrainte uniaxial dans chaque section droite (S). Soit s_X cette contrainte principale (Fig. 5. 35).

1) En un point M quelconque, soit une facette orientée par (M,) et le repère  correspondant. En posant (,) = j, exprimer les composantes s_n et t_nt de .

2) Calculer la valeur particulière de l'angle j₁ (0 < j₁ < ) pour que la contrainte tangentielle soit maximale. Pour cette valeur de j₁, calculer s_n et t_nt par le calcul et par le cercle de Mohr.

3) Calculer la valeur particulière de l'angle j₂ tel que les composantes s_n et t_nt soient égales.

4) Exprimer  en fonction de j = (,) dans  et en déduire que quel que soit j,  est parallèle à .

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Exercice 4  :

Joint de Cardan Glaenzer-Spicer

Un joint de Cardan réalise une double articulation cylindrique à axes concourants et perpendiculaires (Fig. 3.20).

Les pièces 1 et 3 ont sensiblement la même forme (chape).

La pièce 2 est appelée croisillon et comporte essentiellement quatre portées cylindriques à 90 degrés équipées de cages à aiguilles.

Hypothèses :

– Le repère Â₂ =  est lié au croisillon 2.

– La liaison 1-2 est une liaison pivot d'axe (O,).

– La liaison 2-3 est une liaison pivot d'axe (O,).

1) Etudier la liaison 1-3 et donner pour celle-ci les composantes en O et dans Â₂ du T.A.M.T.

2) Etudier la liaison 2-3 et donner pour celle-ci les composantes en O et dans Â₂ du T.A.M.T.

3) Etudier la liaison 1-3 et donner pour celle-ci les composantes en O et dans Â₂ du T.A.M.T.

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Exercice 5  :

Un treuil de chantier est suspendu en A à une potence articulée constituée de deux barres AB et AC en liaison pivot sans adhérence d’axe  en A, B et C.

AC est un tirant de diamètre d. La poutre AB est constituée de deux cornières assemblées dont on donne les dimensions en coupe A-A (Fig. 16.10).

Pour l’acier constituant ces cornières, on donne : E = 2.10⁵ MPa  et s_e = 300 MPa.

1) Calculer la cote a définissant la position du centre de surface G de la section droite de la double cornière.

2) Calculer la section S et le moment quadratique I_Gz de la section droite de la double cornière.

3) Quelle masse maximale peut-on suspendre au treuil en A ? (On donne g = 9,81 m/s²).

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